Ángel Plaza de la Hoz

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Esquema de las clases 2020-2021

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Secciones Cálculo Ampliación de matemáticas Cómo resolver problemas

Novedades

Clase del 28 de septiembre de 2020:

Presentación de la Asignatura y del Proyecto Docente: Ver enlace. Se recuerda la necesidad de realizar las prácticas de Matlab, cuando estén disponiblen los grupos de prácticas en el campus virtual. A modo de ejemplo se comenta el examen del primer parcial del curso anterior disponible en Ver enlace. Se comenta y propone el ejercicio 1. Empezamos el curso hablando de los conjuntos numéricos: números naturales, enteros, racionales y reales. Se introducen los Los números reales como números decimales y se ponen ejemplos de números reales que no son racionales. Propiedades de la suma y el producto de los números reales. Una introducción a los números reales la puedes encontrar en Ver enlace .

Clase de 1/2 de octubre de 2020:

Se resuelven los problemas propuestos la clase anterior. Potencias y logaritmos. Propiedades y ejercicios. Se recuerda el desarrollo del binomio de Newton. Se introducen los números combinatorios, y se ve la fórmula del binomio de Newton en forma de sumatorio.

Se hace el problema 1.b) del parcial del curso pasado utilizando la derivación logarítmica.

Clase de 5 de octubre de 2020:

Concepto de función real de variable real, y límite en un punto.
Funciones reales de variable real. Concepto y gráfica de una función. Funciones elementales: función constante, función lineal o afín, función cuadrática, función polinómica, función racional, funciones trigonométricas y sus inversas.

Clase del 8/9 de octubre de 2020:

Repaso de cálculo de límites. Se comenta la lista de problemas de límites de exámenes pasados.
Tabla de derivadas, y ejercicios.
Se recuerda la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a una curva de ecuación $y=f(x)$ en un punto $(a,f(a))$.

Clase del 15/16 de octubre de 2020:

Se recuerdan las fórmulas sobre logaritmos $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$ y la que permite escribir una expresión potencial-exponencial en forma exponencial con base el número $e$: $z^w = e^{w \ln z}$.
Se comentan algunos errores en los problemas sobre límites. La importancia de utilizar infinitésimos equivalentes sólo cuando estén multiplicando o dividiendo.
Se explic cómo hallar la ecuación de la recta tangente a una curva dada en forma implícita por una ecuación $f(x,y)=0$, es decir donde la $y$ no aparece despejada.
Se proponen unos problemas en el campus virtual de los que se pueden entregar $3$ resueltos antes de las 17 horas de próximo miércoles 21.

Clase de 19 de octubre de 2020:

Repaso de distintas formas de dar la ecuación de una recta. Vector tangente y normal a la recta.
Para algunas animaciones sobre el concepto de derivada: Ver animaciones 5 y 6 de la página de Douglas N. Arnold VER animaciones .
Hacemos un problema propuesto donde se halla la recta tangente y normal a una curva definida implícitamente por una ecuación. Se aplica lo anterior en un problema de un límite de tipo 0/0 mediante la regla de L'Hopital.
Un ejemplo de un límite de tipo 0/0 que no se puede hallar con la regla de L'Hopital. Lo resolvemos mediente infinitésimos.
Derivaciones sucesivas. Introducción al polinomio de Taylor. $$P_n(x) = \displaystyle f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+ \ldots + \frac{f^{n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$ Ejemplo

Clase de 22/23 de octubre de 2020:

Repaso de distintos errores en los problemas de derivación implícita. Teorema de Taylor y resto de Lagrange. $$f(x) = \displaystyle f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+ \ldots + \frac{f^{n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \frac{f^{n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$ Ejercicios. Se introduce la diferencial de una función en un punto, $df(a)(dx)=f'(a) \cdot dx$ como la función lineal que mejor aproxima la diferencia $f(x)-f(a)$. Se presenta la lista de problemas de Taylor disponible en el campus virtual.

Clase de 26 de octubre de 2020:

Diferenciales sucesivas y expresión de la fórmula de Taylor con diferenciales. $$f(x) = \displaystyle f(a) + df(a) + \frac{d^2f(a)}{2!}+ \ldots + \frac{d^nf(a)}{n!} + \frac{d^{n+1}f(c)}{(n+1)!}$$ Introducción a la integral indefinida. Concepto y propiedades. Linealidad de la integral. Tabla de integrales inmediatas.

Clase de 30 de octubre de 2020:

Se comentan algunos errores en los ejercicios entregrados sobre el teorema de Taylor.
Integración por cambio de variable. Ejemplos: $\displaystyle \int e^{x^2}x dx$, $\displaystyle \int \sec x dx$.
Integración por partes. Ejemplos: $\displaystyle \int x^2 e^{2x} dx$, $\displaystyle \int \cos 3x e^{2x} dx$.
Se resuelven algunos problemas aparecidos en exámenes: $\displaystyle \int \ln^2 dx$ (por partes), $\displaystyle \int \frac{4x^2}{\sqrt{x^6 -1}} dx$ (por cambio de variable).

Clase de 2 de noviembre de 2020:

Se comenta un ejemplo del uso del teorema de Taylor en la resolución de límites. Ejemplo $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{2x^3}$.
Uso de la forma exponencial de las funciones hiperbólicas (o trigonométricas) en integrales. Ejemplo $\displaystyle \int e^{3x} \cosh (2x) dx$.
Integrales trigonométricas: $\displaystyle \int \sin^n x dx$, $\displaystyle \int \cos^n x dx$, $\displaystyle \int \sin^n x \cos^m x dx$, $\displaystyle \int \tan^n x dx$, $\displaystyle \int \sec^n x dx$, (con $n,m$ par o impar),

Clase de 6 de noviembre de 2020:

Se comentan algunos errores en los ejercicios entregrados sobre integrales.
Integrales trigonométricas: $\displaystyle \int \sin n x \cos m x \ dx$, $\displaystyle \int \sin n x \sin m x \ dx$, $\displaystyle \int \cos n x \cos m x \ dx$, con $n \neq m$, mediante las fórmulas de Euler para el seno y el coseno. Ejemplo $\displaystyle \int \sin 4x \cos 5x \ dx$.
Integración por sustituciones trigonométricas, si el integrando contiene expresiones de la forma: $\displaystyle \sqrt{1-x^2}$, $\displaystyle \sqrt{1+x^2}$, $\displaystyle \sqrt{x^2-1}$ se hacen respectivamente los cambios de variable $\displaystyle x = \sin t$, $\displaystyle x = \tan t$. Ejemplo $\displaystyle \int \frac{\sqrt{9-x^2}}{x} \ dx$.

Clase de 9 de noviembre de 2020:

Integración de funciones racionales. Caso raíces reales simples, Caso raíces complejas simples conjugadas. Caso raíces múltiples. Método de Hermite. Ejemplos.
Integración de funciones racionales en seno y en coseno. Caso función impar en seno, o impar en coseno. Ejemplos.

Clase de 13 de noviembre de 2020:

Se hacen algunos problemas: $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{(\sin x)^x}{1 - \cos x}$, $\displaystyle \int \frac{dx}{e^{2x}-e^x +2}$.
Integrales trigonométricas: $\displaystyle \int \frac{dx}{2 - \sin^2x}$, mediante el cambio de variable $\tan x = t$ por ser la función sub-integral par en seno y en coseno, $\displaystyle \int \frac{dx}{1 - \sin x}$, mediante el cambio de variable general $\tan \frac{x}{2} = t$.
Empezamos con Integración definida. Teorema fundamental del Cálculo. Ejemplo: si $F(x) = \displaystyle \int_0^x e^{-t^2} \ dt$, hallar $F'(0)$ y $F'(\pi)$.

Clase de 16 de noviembre de 2020:

Aplicación del teorema fundamental del Cálculo en distintos problemas. Ejemplos:
Hallar la derivada de la función $F(x) = \displaystyle \int_0^{x^2} \cos^2{t} \ dt$.
Hallar el polinomio de Maclaurin de segundo grado, con resto, de $F(x) = \displaystyle \int_0^x \cos^2{t} \ dt$.
Hallar $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x e^t \ dt}{2x}$.
Segundo teorema fundamental: regla de Barrow. Ejemplos.

Clase de 20 de noviembre de 2020:

Se comentan algunos errores en los ejercicios entregrados sobre el teorema fundamental del Cálculo.
Aplicación de la integral entre $0$ y $1$ para resolver ciertos límites.
Ejemplo: $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \sin \left( \frac{k \pi}{n}\right) = \int_0^1 \sin (\pi x) \ dx = \frac{2}{\pi}$.
Se comenta brevemente el siguiente tema: funciones de varias variables.

Clase de 24 de noviembre de 2020:

Se hacen varios ejercicios entregrados sobre el teorema fundamental: Ejercicios 4)1 y 4)2. También se comentan los apartados del ejercicio 5.
Funciones de varias variables. Ejemplos.
Ecuación del plano. Planos de coordenadas. Ecuación general, vector pivote. Ecuación en forma de determinante.
Ecuació:n de la esfera de centro $C=(a,b,c)$ y radio $R$.
Algunas superficies: paraboloide elíptico, y doble cono.
Observación: Una ecuación de primer grado en variables $x$ e $y$ es una recta en el plano $XY$ y un plano en el espacio $XYZ$.

Clase de 27 de noviembre de 2020:

Se muestran algunas superficies: paraboliodes, hyperboloides, cilindros sobre curvas en el plano XY.
Concepto de límite de una función de dos variables. Ejemplo cuando la función es continua.
Lí:mites iterados en una función de dos variables. Observaciones.

Clase de 30 de noviembre de 2020:

Se ha realizado el primer examen parcial.

Clases de 30 de noviembre y 1 de diciembre de 2020:

Recordamos los límites iterados en una función de dos variables, y su aplicación al cólculo del límite global de una función.
Lí:mites direccionales. Consecuencias y ejemplos.
Introducción al uso de las coordenadas polares al cálculo de límites.

Clase de 11 de diciembre de 2020:

Límite de una función de 2 variables.Técnica de cambio a coordenadas polares. Casos posibles. Continuidad de una función de 2 variables.
Se pueden resolver los problemas 3 y 7 de la Hoja de Problemas n. 6. en cuanto a límites y continuidad de funciones.
Vemos la definición de derivada parcial y su interpretación geométrica.
Ecuación del plano tangente de una superficie dada en forma explícita en un punto.

Clase de 14 de diciembre de 2020:

Ecuación del plano tangente de una superficie dada en forma explícita $z=f(x,y)$ en un punto del plano $XY$, $P(a,b)$: $\displaystyle z-f(a,b) = \frac{\partial \,f}{\partial \,x} (P) (x-a) + \frac{\partial \,f}{\partial \ y} (P) (y-b)$. La ecuación de la recta normal a la superficie es $\displaystyle \frac{x-a}{\frac{\partial \,f}{\partial \,x} (P)} = \frac{y-b}{\frac{\partial \,f}{\partial \,y} (P)} = \frac{z-f(a,b)}{-1}.$
Ecuación del plano tangente de una superficie dada en forma implícita $F(x,y,z)=0$ en un punto del espacio $P(a,b,c)$: $\displaystyle \frac{\partial \,F}{\partial \,x} (P) (x-a) + \frac{\partial \,F}{\partial \,y} (P) (y-b) + \frac{\partial \,F}{\partial \,z} (P) (z-c) = 0$.
La ecuación de la recta normal en este caso es $$\displaystyle \frac{x-a}{\frac{\partial \,F}{\partial \, x} (P)} = \frac{y-b}{\frac{\partial \,F}{\partial \,y} (P)} = \frac{z-c}{\frac{\partial \ F}{\partial \ z} (P)}.$$
Ejemplos.
Aplicación al problema de hallar la recta tangente a la curva dada en forma implícita $f(x,y)=0$ en el punto $P(a,b)$. La ecuación de la recta tangente es $\frac{\partial \,f}{\partial \,x} (P) (x-a) + \frac{\partial \ f}{\partial \ y} (P) (y-b) = 0$.

Clase de 18 de diciembre de 2020:

Se comentan los errores más comunes al resolver problemas de plano tangente y recta normal a una superficie.
Derivadas parciales sucesivas. Igualdad de las parciales cruzadas cuando las derivadas parciales son continuas.
Esquema de las derivadas parciales sucesivas en forma de árbol.
Diferencial de una función de dos variables. Es la aplicación lineal definida por $\displaystyle df(P)(dx,dy) = \frac{\partial \,f}{\partial \,x} (P) dx + \frac{\partial \,f}{\partial \,y} (P) dy$
Diferenciales sucesivas. $\displaystyle d^2 f(P)(dx,dy) = \frac{\partial^2 \,f}{\partial \,x^2} (P) dx^2 + 2\frac{\partial^2 \,f}{\partial \,y \partial \,x} (P) dx dy + \frac{\partial^2 \,f}{\partial \,y^2} (P) dy^2$.
Notación abreviada: $\displaystyle d^2 f(P) = \left(\frac{\partial \,f}{\partial \,x} (P) dx + \frac{\partial \,f}{\partial \,y} (P) dy\right)^{(2)}$, donde el símbolo $(2)$ actúa como potencia ordinaria sobre $dx$ y $dy$ y como derivación sucesiva sobre las derivadas parciales.
Se propone el ejercicio de hallar la diferencial, la diferencial segunda y la diferencial tercera de la función $f(x,y)= e^{2x-y}$, en el punto $P(1,2)$.

Clase de 21 de diciembre de 2020:

Se repasa c&ocute;mo hallar las diferenciales sucesivas de una función de dos variables.
Polinomio de Taylor de grado $n$ en un punto $P(a,b)$ y polinomio de Maclaurin de una función con derivadas parciales continuas.
Expresión del resto de Lagrange, y teorema de Taylor: $$\displaystyle f(x,y) = f(P) + df(P) + \frac{d^2f(P)}{2!}+ \ldots + \frac{d^{n}f(P)}{n!} + \frac{d^{n+1}f(c,d)}{(n+1)!}$$
Se halla el polinomio de Macluarin de grado $2$ de $f(x,y) = \sinh(xy)$ con resto de Lagrange.
Máximos y mínimos de una función de dos variables.
Puntos críticos, solución del sistema de ecuaciones formado por las primeras derivadas parciales igual a cero.
Discusión de máximo, mínimos o punto de silla mediante el determinante Hessiano.
Se resuelve el ejercicio de hallar los máximos y mínimos de la función $f(x,y) = x^3 - 3xy + y^3$, y se comentan los errores más comunes en estos problemas.

Clase del 8 de enero de 2021:

Se comentan los problemas entregados sobre máximos y mínimos de una función de dos variables.
Se resuelven varios de los problemas propuestos.
Se comenta brevemente el caso de una función de tres variables.

Clase del 11 de enero de 2021:

Empezamos el tema de sucesiones y series de números reales.
Concepto de límite de una sucesión. Sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes. Ejemplos.
Resolvemos un problema del último examen de convocatoria ordinaria del curso pasado, donde se aplica el criterio de Stolz.
Un resumen de lo visto hoy sobre sucesiones, junto con preguntas que han aparecido en exámenes, lo puedes encontrar en EL FICHERO .

Clases del 14 y 15 de enero de 2021:

Repaso del criterio de Stolz para el cálculo de límites. Resolvemos algunos problemas.
Se demuestra el criterio de la media aritmética y el criterio de la media geométrica. Ejemplos
Criterio del cociente raiz. Se resuelve el problema h) de la hoja de problemas .
Se comenta que de esta hoja de problemas sólo se pueden hacer los problemas entre el 4 y 13, ambos inlcuidos.

Clases del 18 de enero de 2021:

Se resalta la necesidad de comprobar que el deonominador tiende a infinito para aplicar el criterio de Stolz en el cálculo de límites.
Empezamos el tema de series numéricas. Series convergentes, divergentes y oscilantes. Ejemplos.
Series geométricas. Fórmula para la suma en el caso de que la razán sea en módulo menor que $1$.
Criterio necesario de convergencia. Ejemplos.
Serie armónico. Se demuestra que es divergente, mediante el cálculo de un límite mediante Stolz.
Series de téminos positivos. Un resumen con algunos criterios que hay que saber aplicar para series de téminos positivos está en EL ENLACE .
Criterios de la raíz y del cociente. Ejemplos.

Clases del 21 y del 22 de enero de 2021:

Se repasa lo visto sobre series numéricas. Series convergentes, divergentes y oscilantes. Series geométricas. Criterio necesario de convergencia. Ejemplos.
Criterio integral: Si $f(x)$ es una función positiva y decreciente, entonces la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ y la integral $\displaystyle \int_{x=1}^{\infty} f(x) \ \textrm{d} x$ tienen el mismo caracter. Se aplica este criterio para demostrar que la serie armónica de generalizada de exponente $p$, es decir $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$, es convergente si $p > 1$, y divergente si $p \leq 1$.
Criterios comparación para series de términos positivos. Sean $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ y $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ dos series de términos positivos. Si $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} < \infty$ y $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ es convergente, entonces también $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ es convergente. Además, si $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \neq 0$ y $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ es divergente, entonces también $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ es divergente.
Ejemplos. El criterio de comparación es útil cuando el término general de la serie es cociente de polinomios, o asimilable a un cociente de polinomios, por compración con la serie armónica generalizada.
Se resuelve, entre otros problemas, el caracter de la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$.